t分布
在机率论和统计学中，t-分布（t-distribution）用于根据小样本来估计呈常态分配且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用常态分配来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。与标準常态分配曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近常态分配曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标準常态分配曲线。
基本介绍
- 中文名：t分布
- 外文名：t-distribution
- 学科：机率论和统计学
- 套用：在对呈常态分配的总体
- 别称：学生t分布
- 相关术语：t检验
历史
在机率论和统计学中，学生t-分布（Student's t-distribution）经常套用在对呈常态分配的总体的均值进行估计。它是对两个样本均值差异进行显着性测试的学生t测定的基础。t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可套用。在样本数量大（超过120等）时，可以套用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t检定。当母群体的标準差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。学生t-分布可简称为t分布。其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。定义
由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。假设X服从标準常态分配N（0,1），Y服从
分布，那幺
的分布称为自由度为n的t分布,记为
。分布密度函式
，其中，Gam(x)为伽马函式。
扩展
常态分配（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础。常态分配有两个参数，μ和σ，决定了常态分配的位置和形态。为了套用方便，常将一般的正态变数X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标準正态变数u，以使原来各种形态的常态分配都转换为μ=0，σ=1的标準常态分配（standard normal distribution）,亦称u分布。根据中心极限定理，通过上述的抽样模拟试验表明，在常态分配总体中以固定n，抽取若干个样本时，样本均数的分布仍服从常态分配，即N(μ,
)。所以，对样本均数的分布进行u变换，也可变换为标準常态分配N (0,1)。特徵
1．以0为中心，左右对称的单峰分布；2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度df）大小有关。自由度df越小，t分布曲线越低平；自由度df越大，t分布曲线越接近标準常态分配（u分布）曲线，如图：t(n)分布与标準正态N(0,1)的密度函式。
置信区间
假设数量A在当T呈t-分布（T的自由度为n−1）满足
这与是相同的。A是这个机率分布的第95个百分点。那幺
等价于
因此μ的90%置信区间为：
。计算
下表列出了自由度为1-30以及80、100、120等t-分布的单侧和双侧区间值。例如，当样本数量n=5时，则自由度df=4，我们就可以查找表中以4开头的行。该行第5列值为2.132，对应的单侧值为95%（双侧值为90%）。这也就是说，T小于2.132的机率为95%（即单侧），记为Pr(−∞ < T < 2.132) = 0.95；同时，T值介于-2.132和2.132之间的机率为90%（即双侧），记为Pr(−2.132 < T < 2.132) = 0.9。这是根据分布的对称性计算得到的。- Pr(T < −2.132) = 1 − Pr(T > −2.132) = 1 − 0.95 = 0.05
- Pr(−2.132 < T < 2.132) = 1 − 2(0.05) = 0.9